Triam'

ลำดับ

ลำดับ คือ การนำตัวเลขมาวางเรียงกัน เช่น $12, 18, 64, 22, 46$
โดยลำดับที่สามารถบอกจำนวนที่แน่นอนได้ว่ามีกี่จำนวน คือ ลำดับจำกัด ส่วนลำดับที่ไม่สามารถบอกจำนวนของลำดับได้ คือ ลำดับอนันต์
โดยเราจะเรียกลำดับในแต่ละตำแหน่งว่า "พจน์" เช่น มีลำดับ $1, 2, 3, 4, ..., n, ...$ จะเรียก 1 ในลำดับนี้ว่าพจน์ที่ 1 เรียก 2 ในลำดับนี้ว่าพจน์ที่ 2 เรียก n ในลำดับนี้ว่าพจน์ที่ n เป็นต้น
โดยทั่วไปจะเรียกลำดับต่าง ๆ เหมือนกับฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนนับและมีค่าเป็นจำนวนจริง หรือก็คือ $a : \mathbb N \to \mathbb R$ โดยทั่วไปจะนิยมเขียนจาก $a(n)$ เป็น $a_n$
ดังนั้น $a = \{(1, a_1), (2, a_2), (3, a_3), ..., (n, a_n), ...\}$ โดยเขียนลำดับ $a$ ด้วยสัญลักษณ์ $\{a_n\}$
ลำดับในคณิตศาสตร์นั้นมีหลายรูปแบบ ที่มีเอกลักษณ์ที่แตกต่างกันใช้ได้แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น

ลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิต เป็นลำดับที่เพิ่มหรือลดอย่างคงที่ โดยการ “บวก” เรียกค่าคงที่ที่นำมาบวกว่า “ผลต่างร่วม” แทนด้วยสัญลักษณ์ $d$
ตัวอย่างเช่น ลำดับเลขคณิต $5, 8, 11, 14, ...$ จะเห็นว่า $a_1 = 5, a_2 = 8, a_3 = 11, a_4 = 14$ ดังนั้นวิธีหาค่า $d$ คือ พจน์ขวา - พจน์ซ้าย
ก็จะได้ว่า $(a_2 - a_1), (a_3 - a_2), (a_4 - a_3)$ หรือ $a_{n+1} - a_{n}$ เป็นค่า $d$ ผลต่างร่วม
โดยพจน์ทั่วไปสามารถหาได้จาก $a_n = a_1 + (n-1)d$

ลำดับเรขาคณิต

ลำดับเรขาคณิต เป็นลำดับที่เพิ่มหรือลดอย่างคงที่ โดยการ “คูณ” เรียกค่าคงที่ที่นำมาคูณว่า “อัตราส่วนร่วม” แทนด้วยสัญลักษณ์ $r$
ตัวอย่างเช่น ลำดับเรขาคณิต $2, 6, 18, 54, ...$ จะเห็นว่า $a_1 = 2, a_2 = 6, a_3 = 18, a_4 = 54$ ดังนั้นวิธีหาค่า $r$ คือ $\cfrac{พจน์ขวา}{พจน์ซ้าย}$
ก็จะได้ว่า $\left(\cfrac{a_2}{a_1}\right), \left(\cfrac{a_3}{a_2}\right), \left(\cfrac{a_4}{a_3}\right)$ หรือ $\left(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}\right)$ เป็นค่า $r$ อัตราส่วนร่วม
โดยพจน์ทั่วไปสามารถหาได้จาก $a_n = a_1(r)^{n-1}$

อนุกรม

อนุกรม คือ การนำตัวเลขในลำดับมาบวกกัน ตัวอย่างเช่น ถ้ามีลำดับ $4, 9, 16, 25, 36$ จะได้อนุกรมของลำดับนี้ คือ $4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 90$
เรานิยมใช้สัญลักษณ์ $S_n$ แทน "ผลบวก $n$ ตัวแรกของอนุกรม" ดังนั้น ในอนุกรมนี้จะได้ว่า $S_3 = 4 + 9 + 16 = 29$ $S_1 = 4$ เป็นต้น

อนุกรมเลขคณิต
อนุกรมเลขคณิต คือ อนุกรมที่เกิดจากลำดับเลขขคณิต
ตัวอย่างเช่น $5 + 8 + 11 + 14 + ... + 38$ สูตรสำหรับหาอนุกรมเลขคณิต $\bbox[5px,border:2px solid red]{S_n = \cfrac{n}{2}(a_1 + a_n)}$ เราสามารถแทนพจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตลงไป จะได้ $\bbox[5px,border:2px solid red]{S_n = \cfrac{n}{2}\left(2a_1 + (n - 1)d\right)}$

อนุกรมเรขาคณิต
อนุกรมเรขาคณิต คือ อนุกรมที่เกิดจากลำดับเรขาคณิต
ตัวอย่างเช่น $6 + 12 + 24 + 48 +$ สูตรสำหรับหาอนุกรมเลขคณิต $\bbox[5px,border:2px solid red]{S_n = \cfrac{a_1 - a_nr}{1 - r}}$ เราสามารถแทนพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตลงไป จะได้ $\bbox[5px,border:2px solid red]{S_n = \cfrac{a_1(1-r^n)}{1-r}}$

ลิมิตของลำดับ

การหาค่าลิมิตของลำดับเป็นการประมาณค่าพจน์สุดท้ายของลำดับอนันต์
ตัวอย่างเช่น $1, \cfrac{1}{4}, \cfrac{1}{9}, \cfrac{1}{16}, ...$ ลำดับนี้พจน์สุดท้ายจะมีค่าประมาณ $0$ เป็นต้น
ซึ่งในบางลำดับนั้นไม่สามารถประมาณค่าของพจน์สุดท้ายได้ ตัวอย่างเช่น $2,4,6,8,...$ ในกรณีนี้จะไม่สามารถประมาณพจน์สุดท้ายได้เนื่องจากยิ่งพจน์มากขึ้นเท่าไหร่ ค่าของลำดับนั้นจะมากขึ้นเท่านั้น
การประมาณค่าพจน์สุดท้ายของพจน์ทั่วไปใด ๆ สามารถหาได้จาก $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$ หลังจากนั้นก็ทำการแทนค่า $\infty$ ลงไปใน $n$ ของพจน์ทั่วไปแล้วทำการหาค่าของลิมิต
ตัวอย่างเช่น $a_n = \cfrac{n}{n+1}$ $$ \begin{align*} \lim_{n \to \infty} \cfrac{n}{n+1} &= \lim_{n \to \infty} \cfrac{n}{n\left(1 + \cfrac{1}{n}\right)} \\ &= \lim_{n \to \infty} \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{n}} \\ แทน \infty ลงใน n &= \cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\infty}} \\ &= \cfrac{1}{1+0} \\ &= \cfrac{1}{1} \\ &= 1 \end{align*} $$ เพิ่มเติม การคำนวณค่าประมาณของ $\infty$ สามารถหาได้ดังนี้
$$ \begin{align*} \infty + \infty &\to \infty & \infty + k &\to \infty \\ \infty - \infty &\to \text{undefine} & \infty - k &\to \infty \\ \infty \times \infty &\to \infty & k - \infty &\to -\infty \\ \infty \times k &\to \begin{cases} \infty&, & \text{When } k \in \Bbb R^+ \\ -\infty&, & \text{When } k \in \Bbb R^- \\ \text{undefine}&, & \text{When } k \approx 0 \\ \end{cases} & \cfrac{\infty}{k} &\to \begin{cases} \infty, & \text{When } k \in \Bbb R^+ \\ -\infty, & \text{When } k \in \Bbb R^- \\ \end{cases} \\ \cfrac{k}{\infty} &\to 0 & \cfrac{\infty}{\infty} &\to \text{undefine} \\ \infty^k &\to \begin{cases} \infty&, & \text{When } k \in \Bbb R^+ \\ 0 &, & \text{When } k \in \Bbb R^- \\ \text{undefine}&, & \text{When } k \approx 0 \\ \end{cases} \end{align*} $$ ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ $\displaystyle\lim_{n \to \infty} \cfrac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$
\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \cfrac{\sqrt{n-1}}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} &= \lim_{n \to \infty} \cfrac{\sqrt{n}\sqrt{1-\cfrac{1}{n}}}{\sqrt{n}\left(1+\sqrt{1+\cfrac{1}{n}}\right)} \\ &= \lim_{n \to \infty} \cfrac{\sqrt{1-\cfrac{1}{n}}}{\left(1+\sqrt{1+\cfrac{1}{n}}\right)} \\ &= \cfrac{\sqrt{1-\cfrac{1}{\infty}}}{\left(1+\sqrt{1+\cfrac{1}{\infty}}\right)} \\ &= \cfrac{\sqrt{1-0}}{\left(1+\sqrt{1+0}\right)} \\ &= \cfrac{\sqrt{1}}{\left(1+\sqrt{1}\right)} \\ &= \cfrac{1}{1+1} \\ &= \cfrac{1}{2} \\ \end{align*}