เมทริกซ์
เมทริกซ์ คือ กลุ่มของจำนวนหรือสมาชิกของจำนวนจริงใด ๆ เขียนเรียงกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือจัตุรัสเรามักเขียนเมทริกซ์เป็นตารางที่ไม่มีเส้นแบ่งและเขียนวงเล็บคร่อมตารางไว้ ตัวอย่างเช่น
$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\sqrt 2 & 3 \\
\cfrac{\sin(75)}{4} & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
$$
\left[\begin{array}{rrr|r}
1 & 2 & 4 & 8 \\
16 & 32 & 64 & 128 \\
256 & 512 & 1024 & 2048
\end{array}\right]
$$
โดยเรียกแถวแนวตั้งของเมทริกซ์ว่า หลัก
ตัวอย่างเช่น
$$
\begin{bmatrix}
1 \\
4 \\
7 \\
\end{bmatrix}
$$
จะเห็นว่าเมทริกซ์นี้มี \(1\) หลัก
แถวในแนวนอนของเมทริกซ์ว่า แถว
ตัวอย่างเช่น
$$
\begin{bmatrix}
1 & 4 & 7 \\
\end{bmatrix}
$$
จะเห็นว่าเมทริกซ์นี้มี \(1\) แถว
$$
\begin{bmatrix}
1 & 4 \\
2 & 14 \\
9 & 6 \\
10 & 40 \\
\end{bmatrix}
$$
จากตัวอย่างนี้จะเห็นว่าเมทริกซ์นี้มี \(4\) แถว \(2\) หลัก
การระบุตำแหน่งของเมทริกซ์
หลักการระบุตำแหน่งของเมทริกซ์ คือ การระบุตำแหน่งของสมาชิกที่อยู่ในเมทริกซ์ว่าอยู่ในแถวกับหลักใด โดยเราจะใช้สัญลักษณ์\(A_{i,j}\) หมายถึงสมาชิกของเมทริกซ์ \(A\) ในแถวที่ \(i\) หลักที่ \(j\)
ตัวอย่างเช่น \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix}\)
\(A_{1,3}\) หมายถึงสมาชิกของเมทริกซ์ \(A\) ในแถวที่ \(1\) หลักที่ \(3\) ซึ่งก็คือ \(3\) นั่นเอง
หรือเราสามารถเขียนเมทริกซ์ได้อีกแบบ คือ $$ \begin{bmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & a_{1, 3} & \cdots & a_{1, j} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & a_{2, 3} & \cdots & a_{2, j} \\ \vdots & \vdots& \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i, 1} & a_{i, 2} & a_{i, 3} & \cdots & a_{i, j} \end{bmatrix} $$
การดำเนินการทางเมทริกซ์
การบวกเมทริกซ์ คือ การนำเมทริกซ์มาบวกกันตามตำแหน่งโดยเมทริกซ์จะต้องมีขนาดเท่ากัน เช่น $$ \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 1 \\ 7 & 6 \\ 0 & 4 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 4 \\ 9 & 6 \\ 10 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 + 1 & 5 + 4 \\ 1 + 2 & 1 + 4 \\ 7 + 9 & 6 + 6 \\ 0 + 10 & 4 + 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 9 \\ 3 & 5 \\ 16 & 12 \\ 10 & 4 \\ \end{bmatrix} $$การลบเมทริกซ์ คือ การนำเมทริกซ์มาลบกันตามตำแหน่งโดยเมทริกซ์จะต้องมีขนาดเท่ากัน เช่น $$ \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 1 & 1 \\ 7 & 6 \\ 0 & 4 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 4 \\ 9 & 6 \\ 10 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 - 1 & 5 - 4 \\ 1 - 2 & 1 - 4 \\ 7 - 9 & 6 - 6 \\ 0 - 10 & 4 - 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & -3 \\ -2 & 0 \\ -10 & 4 \\ \end{bmatrix} $$
การคูณเมทริกซ์ คือ การนำแถวของเมทริกซ์ตัวตั้งคูณกับหลักของเมทริกซ์ตัวคูณโดย จำนวนแถวของตัวตั้งจะต้องเท่ากับจำนวนหลักของตัวคูณของเมทริกซ์ เช่น
\begin{align*} \begin{bmatrix} \color{red}{1} & \color{red}{2} \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \color{green}{1} & 2 \\ \color{green}{3} & 4 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{black}{(}\color{red}{1} \color{black}{\times} \color{green}{1}\color{black}{)} \color{black}{+} \color{black}{(}\color{red}{2} \color{black}{\times} \color{green}{3}\color{black}{)} & 10 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \end{align*} \begin{align*} \begin{bmatrix} 4 & 9 & 1\\ 3 & 5 & 8\\ \end{bmatrix}_{2,3} \begin{bmatrix} 3 & 4\\ 3 & 2\\ 1 & 5\\ \end{bmatrix}_{3,2} &= \begin{bmatrix} \bigl((4 \times 3) + (9 \times 3) + (1 \times 1)\bigr) & \bigl((4 \times 4) + (9 \times 2) + (1 \times 5)\bigr) \\ \bigl((3 \times 3) + (5 \times 3) + (8 \times 1)\bigr) & \bigl((3 \times 4) + (5 \times 2) + (8 \times 5)\bigr) \\ \end{bmatrix}_{2,2} \\ &= \begin{bmatrix} 40 & 39 \\ 32 & 62 \\ \end{bmatrix}_{2,2} \end{align*}
การสลับเปลี่ยน (Transpose) คือ การกลับแถวเป็นหลักและกลับหลักเป็นแถวของเมทริกซ์หนึ่ง เขียนแทนด้วย \(A^t\) เมื่อ \(A\) เป็นเมทริกซ์ใด ๆ $$ \begin{align*} A &= \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 4 \\ 9 & 6 \\ 10 & 0 \\ \end{bmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & A^t &= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 9 & 10 \\ 4 & 4 & 6 & 0 \\ \end{bmatrix} \\ B &= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\, & B^t &= \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \\ \end{bmatrix} \end{align*} $$
ดีเทอร์มิแนนต์ (Determinant) คือ การหาปริมาณสเกลาร์ของเมทริกซ์สี่เหลี่ยมจัตุรัส เขียนแทนด้วย \(\text{det(A)}\) หรือ \(|A|\)
วิธีการหา Determinant ของเมทริกซ์ \(2\times2\) ให้ทำการลากเส้นสมมติจาก\(\color{red}ซ้ายบนไปขวาล่าง\)และจาก\(\color{green}ซ้ายล่างไปขวาบน\) $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\, \begin{bmatrix} \color{red}1 & \color{green}2 \\ \color{green}3 & \color{red}4 \\ \end{bmatrix} $$ วิธีการหา Determinant ของเมทริกซ์ตั้งแต่ \(3\times3\) ขึ้นไป $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ \end{bmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\, \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | 1 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & | 4 & 5 \\ 7 & 8 & 9 & | 7 & 8 \\ \end{bmatrix} $$
เมทริกซ์พิเศษ
เมทริกซ์ทแยงมุม คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกทุกตัวเป็น 0 ยกเว้นเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัส เช่น $$ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} $$ เมทริกซ์สามเหลี่ยม คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกรวมตัวกันเป็นรูปสามเหลี่ยมส่วนที่เหลือเป็น 0 เช่น $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} $$ เมทริกซ์เอกลักษณ์ คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกทุกตัวเป็น 0 ยกเว้นเส้นทแยงจากมุมซ้ายบนไปยังขวาที่มีสมาชิกเป็น 1 เช่น $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{bmatrix} $$ เมทริกซ์สมมาตร คือ เมทริกซ์ที่ Transpose แล้วได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์เดิม เช่น $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\, A^t = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} $$ จะเห็นว่าเมทริกซ์ A เมื่อ Transpose แล้วยังคงได้เมทริกซ์เดิมดังนั้นเมทริกซ์ A จึงเป็นเมทริกซ์สมมาตรเมทริกซ์สมมาตรเสมือน คือ เมทริกซ์ที่ Transpose แล้วได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวมีเครื่องหมายตรงข้ามจากเดิม เช่น $$ A = \begin{bmatrix} 0 & -2 & -3 \\ 2 & 0 & -2 \\ 3 & 2 & 0 \\ \end{bmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\, A^t = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ -2 & 0 & 2 \\ -3 & -2 & 0 \\ \end{bmatrix}\\ \,\,\,\,\,\,\,\,A^t = -A $$ จะเห็นว่าเมทริกซ์ A เมื่อ Transpose แล้วได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวมีเครื่องหมายตรงข้ามจากเดิมดังนั้นเมทริกซ์ A จึงเป็นเมทริกซ์สมมาตรเสมือน