แคลคูลัส

ลิมิตของฟังก์ชัน

$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\lim_{x \to a} f(x) = L}$$ ในทางคณิตศาสตร์ลิมิต คือค่าที่ฟังก์ชัน(หรือลำดับ) "เข้าใกล้" ค่าบางค่า
ลิมิตมีความสำคัญต่อแคลคูลัสและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และใช้เพื่อกำหนดความต่อเนื่องอนุพันธ์และปริพันธ์
ในสูตรลิมิตจำกัด ของฟังก์ชันมักเขียนเป็น $$\lim_{x \to a} f(x) = L$$ อ่านว่า "ลิมิตของ $f(x)$ เมื่อ $x$ เข้าใกล้ $a$" หมายถึง ค่าประมาณของ$f(x)$เมื่อ $x$ ประมาณ $a$
หรือในอีกความหมายนึงก็คือ ฟังก์ชัน $f(x)$ เข้าใกล้ค่า $L$ เมื่อ ค่าของ $x$ เข้าใกล้ $a$

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ $\displaystyle\lim_{x \to 2} 8x + 4$
ในการหาค่าลิมิตของฟังก์ชั่นใด ๆ สามารถหาได้จากการนำค่าที่ใกล้มาก ๆ มาแทนลงในฟังก์ชัน
ในตัวอย่างนี้ $x$ นั้นเข้าใกล้ 2 แต่ในการนำค่าที่เข้าใกล้ 2 มาก ๆ มาคิดนั้นอาจจะทำให้คำนวณได้ค่อนข้างลำบากจึงนิยมแทน 2 ลงไปในฟังก์ชันเลยเพื่อหาค่าประมาณที่จุด ๆ นั้นได้ง่ายยิ่งขึ้น \begin{align*} \lim_{x \to 2} 8x + 4 &= 8(2) + 4 \\ &= 16 + 4 \\ &= 20 \\ \therefore \ \lim_{x \to 2} 8x + 4 &= 20 \\ \end{align*}
ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ $\displaystyle \lim_{x \to 4} {x^2 - 16 \over x-4}$
เช่นเดียวกันกับ ตัวอย่างที่ 1 โดยนำ 4 มาแทนลงในฟังก์ชันเพื่อหาค่าประมาณที่จุด ๆ นั้นของฟังก์ชัน
\begin{align*} \lim_{x \to 4} \cfrac{x^2 - 16}{x-4} &= \cfrac{4^2 - 16}{4-4} \\ &= \cfrac{0}{0} \\ \end{align*} เมื่อหาค่าลิมิตแล้วได้คำตอบเป็น $\displaystyle\cfrac{0}{0}$ จะยังไม่สามารถสรุปได้ว่า ลิมิตนี้ไม่นิยาม ให้ทำการจัดรูป ลิมิตใหม่ \begin{align*} \lim_{x \to 4} \cfrac{x^2 - 16}{x-4} &= \lim_{x \to 4} \cfrac{(x-4)(x+4)}{x-4} \\ &= \lim_{x \to 4} x+4 \\ &= 4 + 4 \\ &= 8 \\ \therefore \ \lim_{x \to 4} \cfrac{x^2 - 16}{x-4} &= 8 \\ \end{align*}
โดยต้องคำนึงถึงลิมิตทางซ้ายและทางขวาของฟังก์ชัน $\displaystyle \lim_{x \to c^+} f(x) = \lim_{x \to c^-} f(x) = f(c)$

ตัวอย่างที่ 3 เช่น กำหนดให้ $f(x) = \displaystyle \begin{cases} 2x^2 + 2, & \text{เมื่อ} x > 2 \\ x + 4, & \text{เมื่อ} x \le 2 \end{cases} $ จงหา $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$
ในการหาค่าประมาณของฟังก์ชันที่มีค่าแตกต่างกันในแต่ละช่วง จะต้องคำนวณทั้ง 2 ค่าที่เข้าใกล้คือ เข้าใกล้จากทางที่มากกว่า และทางที่น้อยกว่า หรือ ทางซ้ายและทางขวา
โดยการหาค่าของลิมิตสามารถหาได้เมื่อหาลิมิตทางซ้ายและทางขวานั้นมีค่าเท่ากัน $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^-} f(x)$ และจะต้องมีค่าเท่ากับ $f(2)$
โดยทางขวาสามารถหาค่าได้จาก $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) $ \begin{align*} \lim_{x \to 2^+} f(x) &= 2(2)^2 + 2 \\ &= 8 + 2 \\ &= 10 \\ \end{align*} และลิมิตทางซ้ายสามารถหาค่าได้จาก $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) $ \begin{align*} \lim_{x \to 2^-} f(x) &= 2 + 4 \\ &= 2 + 4 \\ &= 6 \end{align*} $\therefore \ \displaystyle\lim _{x \to 2} f(x)$ ไม่มีค่า เพราะว่า ลิมิตทั้งสองข้างไม่เท่ากัน

ตัวอย่างที่ 4 กำหนดให้ $f(x) = \displaystyle{|x-1| \over x}$ จงหา $\displaystyle\lim_{x \to 1}f(x)$
เช่นเดียวกับตัวอย่างที่ 3 ในการหาค่าประมาณของฟังก์ชันที่มีค่าแตกต่างกันในแต่ละช่วงให้คำนวณทั้งลิมิตทางซ้ายและทางขวา หรือก็คือ $\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1)$
เนื่องจากค่าสัมบูรณ์จะมีค่าแต่ละช่วงเป็นดังนี้ $|x - 1| = \displaystyle \begin{cases} x - 1, & \text{เมื่อ} x - 1 \ge 0 \\ -(x - 1), & \text{เมื่อ} x - 1 < 0 \end{cases} $
ดังนั้น $f(x) = \begin{cases} \cfrac{x-1}{x}, & \text{เมื่อ} x \ge 1 \\ \cfrac{-(x-1)}{x}, & \text{เมื่อ} x < 1 \end{cases} $ \begin{align*} \lim_{x \to 1^+} f(x) &= {-(1-1) \over 1} \\ &= {0 \over 1} \\ &= 0 \\\\ \lim_{x \to 1^-} f(x) &= {1 - 1 \over 1} \\ &= {0 \over 1} \\ &= 0 \\\\ \therefore \lim _{x \to 1} f(x) &= 0 \end{align*}
ตัวอย่างที่ 5 เช่น กำหนด $\displaystyle f(x) = 6x^2 - 4$ จงพิจารณาว่า $f(x)$ ต่อเนื่องที่ $x = 3$ หรือไม่
เราสามารถใช้ลิมิตในการหาความต่อเนื่องของกราฟได้โดยต้องเช็คจาก $\displaystyle\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^-} f(x) = f(3)$ $$f(3) = 6(3)^2 - 4 และ \lim_{x \to 3} f(x) = 6(3)^2 - 4$$ $\therefore f(x)$ ต่อเนื่องที่ $x = 3$

ตัวอย่างที่ 6 กำหนด $f(x) = \cfrac{x^2+x}{x}$ จงพิจารณาว่า $f(x)$ ต่อเนื่องที่ $x = 0$ หรือไม่
โดยต้องเช็คจาก $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0)$ หรือไม่
$f(0) = \displaystyle\cfrac{0^2 + 0}{0}$ ไม่นิยามการหารด้วย 0 และ $\displaystyle\lim_{x \to 3} f(x)$ จึงไม่จำเป็นที่จะต้องหา
$\therefore \ f(x)$ ไม่ต่อเนื่องที่ $x = 0$ เป็นต้น

L'Hopital

L'Hopital คือกฏใช้อนุพันธ์เพื่อช่วยในการคำนวณลิมิตที่อยู่รูปของ indeterminate forms
โดยเริ่มจาก กำหนด $f(a) = g(a) = 0 , f' และ g'$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และ $g'(a) \ne 0$
$$note : f'(a) = \lim_{x \to a} {f(x) - f(a) \over x - a}$$ ที่ไปที่มาสามารถอ่านได้ที่เรื่องของอนุพันธ์ $$\lim_{x \to a} {f(x) \over g(x)} $$ \begin{align*} \lim_{x \to a} {f(x) \over g(x)} &= \lim_{x \to a} {f(x) - f(a) \over g(x) - g(a)} \\ &= \lim_{x \to a} \cfrac{\cfrac{f(x) - f(a)}{x - a}}{\cfrac{g(x) - g(a)}{x - a}} \\ &= \cfrac{\displaystyle \lim_{x \to a}{f(x) - f(a) \over x - a}}{\displaystyle \lim_{x \to a}{g(x) - g(a) \over x - a}} \\ &= {f'(a) \over g'(a)} \end{align*} จึงสามารถบอกได้ว่า $\displaystyle\lim_{x \to a} {f(x) \over g(x)} = \lim_{x \to a} {f'(x) \over g'(x)}$ เพราะ$f' และg'$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
ตัวอย่างวิธีการใช้ จงหา $\displaystyle\lim_{x \to 2} {x^2-3x+2 \over 2x^2+x-10}$ \begin{align*} \lim_{x \to 2} {x^2-3x+2 \over 2x^2+x-10} &= {2^2-3(2)+2 \over 2(2)^2+2-10} \\ &= {0 \over 0} \\ \text{L'Hopital Rule} \ \lim_{x \to 2} {x^2-3x+2 \over 2x^2+x-10} &= \lim_{x \to 2}{2x - 3 \over 4x + 1} \\ &= {2(2) - 3 \over 4(2) + 1} \\ &= {1 \over 9} \\ \end{align*}

อนุพันธ์

$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\cfrac{d}{dx}f(x) = \lim_{h \to 0} \cfrac{f(x+h) - f(x)}{{(x+h)-x}}}$$ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f(x)$ เทียบ $x$ หมายถึง อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใด ๆ
โดยอัตราการเปลี่ยนแปลงใด ๆ คือ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยระหว่างจุด $2$ จุด หรือที่รู้จักอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย
ซึ่งจะเป็นค่าที่บอกว่า $f(x)$ เปลี่ยนไปขนาดไหน เทียบกับการเปลี่ยนไปของ $x$
เช่น จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย $f(x) = \sqrt{2x + 7}$ จาก $0$ ถึง $4$
โดยวิธีคำนวณ ให้นำค่า $f(x)$ที่เปลี่ยนแปลง เทียบ(หาร)กับค่า $x$ ที่เปลี่ยนแปลงไป
$\therefore$ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $f(x)$ โดยเทียบ $x$ คือ
\begin{align*} {f(4) - f(0) \over 4 - 0} &= {\sqrt{2(4) + 7} - \sqrt{2(0) + 7} \over 4 - 0} \\ &= {\sqrt{15} - \cfrac{\sqrt{7}}{4}} \end{align*} $\therefore$ อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย $f(x) = \sqrt{2x + 7}$ จาก $0$ ถึง $4$ เท่ากับ $\cfrac{\sqrt{15} - \sqrt{7}}{4}$
แต่ถ้าดูจากกราฟ ของ $\sqrt{2x + 7}$
จะเห็นได้ว่ากราฟของ $\sqrt{2x + 7}$ มีลักษณะเป็นเส้นโค้งและเมื่อเปลี่ยนจุดที่คำนวณจะทำให้อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย เปลี่ยนไป
เช่น เมื่อพิจารณาตั้งแต่ $1$ ถึง $4$ ก็จะทำให้อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยนั้นเปลี่ยนไปเป็น \begin{align*} {f(4) - f(1) \over 4 - 1} &= {\sqrt{2(4) + 7} - \sqrt{2(1) + 7} \over 4 - 1} \\ &= {\sqrt{15} - \sqrt{9} \over 3} \\ &= {\sqrt{15} - 3 \over 3} \end{align*} อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใด ๆ เป็นการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยโดยให้ค่า $x$ ที่เปลี่ยนแปลงน้อยที่สุด
จาก อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ$f(x)$ จาก $x$ ถึง $x + h$ (โดย $h$ คือค่าที่เปลี่ยนแปลงหรือ $dx$)
คือ $\cfrac{f(x+h) - f(x)}{(x+h) - x}$ โดยต้องการให้ค่า $x$ เปลี่ยนแปลงน้อยที่สุดจึงทำการทำให้ค่า $h$ เข้าใกล้ $0$ โดยใช้ลิมิต
จะได้ $\displaystyle\lim_{h \to 0} {f(x+h) - f(x) \over{(x+h)-x}} = $ อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะใด ๆ ของ $f(x)$ เมื่อเทียบกับ $x$
โดยทั่วไปจะเรียกกันว่าอนุพันธ์ของ $f(x)$ หรือ ดิฟ $f(x)$
ซึ่งจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $f'(x)$ หรือ $\cfrac{df(x)}{dx}$ โดยทั่วไปจะเขียนเป็น $\cfrac{d}{dx}f(x)$

ตัวอย่าง เช่น จงหาอนุพันธ์ของ $f(x) = x^3$ จาก $\displaystyle\cfrac{d}{dx}f(x) = \lim_{h \to 0} \cfrac{f(x+h) - f(x)}{{(x+h)-x}}$ จะได้
\begin{align*} {d\over dx}x^3 &= \lim_{h \to 0} {(x+h)^3 - x^3 \over (x+h)-x} \\ &= \lim_{h \to 0} {(x^3 + 3hx^2 + 3h^2x + h^3) - x^3 \over h}\\ &= \lim_{h \to 0} {3hx^2 + 3h^2x + h^3 \over h}\\ &= \lim_{h \to 0} {h(3x^2 + 3hx + h^2) \over h}\\ &= \lim_{h \to 0} 3x^2 + 3hx + h^2\\ &= 3x^2 + 3(0)x + (0)^2\\ &= 3x^2\\ \therefore \ \cfrac{d}{dx} x^3 &= 3x^2 \end{align*}
ตัวอย่าง จงหาอนุพันธ์ของ $f(x) = e^x$ จาก $\displaystyle\cfrac{d}{dx}f(x) = \lim_{h \to 0} \cfrac{f(x+h) - f(x)}{{(x+h)-x}}$ จะได้
\begin{align*} \cfrac{d}{dx}e^x &= \lim_{h \to 0} \cfrac{e^{x + h} - e^x}{(x+h)-x} \\ &= \lim_{h \to 0} {e^{x + h} - e^x \over h}\\ &= \lim_{h \to 0} {e^x \times e^h - e^x \over h}\\ &= \lim_{h \to 0} {e^x (e^h - 1) \over h}\\ &= e^x \lim_{h \to 0} {(e^h - 1) \over h}\\ จาก e &= \lim_{n \to \infty} \left({1 + {1 \over n}}\right)^n\\ \therefore e^h &= \left(\lim_{n \to \infty} {\left({1 + {1 \over n}}\right)^n}\right)^h\\ &= \lim_{n \to \infty} {\left({1 + \cfrac{1}{n}}\right)^{nh}}\\ &= e^x \lim_{h \to 0} \lim_{n \to \infty}{{\left({1 + \cfrac{1}{n}}\right)^{nh}} - 1 \over h}\\ จาก \text{Moore-Osgood Theorem} &= e^x \lim_{n \to \infty} \lim_{h \to 0} {{\left({1 + \cfrac{1}{n}}\right)^{nh}} - 1 \over h}\\ &= e^x \lim_{n \to \infty} n log\left(1 + {1 \over n} \right)\\ &= e^x \times 1\\ &= e^x \\ \therefore \cfrac{d}{dx} e^x &= e^x\\ \end{align*}

โดยทั่วไปจะไม่ได้ใช้วิธีที่การหาโดยใช้นิยามแบบข้างต้น ซึ่งปกติจะใช้เป็นสูตรในการหาค่าของอนุพันธ์ ดังนี้

สูตรทั่วไป	สูตรตรีโกณมิติ	สูตรอินเวอร์สตรีโกณมิติ
$\cfrac{d}{dx}c = 0$	$\cfrac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)$	$\cfrac{d}{dx}\sin^{-1}(x) = \cfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\cfrac{d}{dx}x = 1$	$\cfrac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)$	$\cfrac{d}{dx}\cos^{-1}(x) = -\cfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$\cfrac{d}{dx}x^n = nx^{n - 1}$	$\cfrac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x)$	$\cfrac{d}{dx}\tan^{-1}(x) = \cfrac{1}{1 + x^2}$
$\cfrac{d}{dx}\sqrt{x} = \cfrac{1}{2\sqrt{x}}$	$\cfrac{d}{dx}\cot(x) = -\text{cosec}^2(x)$	$\cfrac{d}{dx}\cot^{-1}(x) = -\cfrac{1}{1 + x^2}$
$\cfrac{d}{dx}\ln(x) = \cfrac{1}{x}$	$\cfrac{d}{dx}\sec(x) = \tan(x)\sec(x)$	$\cfrac{d}{dx}\sec^{-1}(x) = \cfrac{1}{\|x\|\sqrt{x^2 - 1}}$
$\cfrac{d}{dx}e^x = e^x$	$\cfrac{d}{dx}\text{cosec}(x) = -\cot(x)\text{cosec}(x)$	$\cfrac{d}{dx}\text{cosec}^{-1}(x) = -\cfrac{1}{\|x\|\sqrt{x^2 - 1}}$

ปริพันธ์

$$\bbox[5px,border:2px solid red]{\int_a^b f(x) \,dx = \lim_{n \to \infty} {\sum_{i = 1}^n f \left(a + i\left(\cfrac{b - a}{n} \right)\right)} \cfrac{b - a}{n}}$$ ปริพันธ์ คือ ฟังก์ชันที่ใช้หา พื้นที่, มวล, ปริมาตร หรือผลรวมต่าง ๆ ตัวอย่างเช่น

โดยการหาพื้นที่ใต้กราฟสามารถหาได้โดยการแบ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยม และทำการหาพื้นที่สี่เหลี่ยมนั้น ๆ แล้วนำมาบวกกันโดยใช้
ผลบวกรีมันน์ (Riemann sum) จากบทนิยามของผลบวกรีมันน์ (Riemann sum) $$\int_a^b f(x) \,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \triangle x$$ พื้นที่ใต้เส้นโค้ง ให้ฟังก์ชัน $\ f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่เป็นลบบนช่วง $[a, \ b]$ จากนั้นทำการแบ่งช่วง $[a, \ b]$ ออกเป็น $n$ ส่วนเท่า ๆ กันซึ่งแต่ละส่วนจะแทนด้วย $\triangle x$
โดยแทนจุดต่าง ๆ ที่แบ่งมาเท่า ๆ กันด้วย $x_i$ เมื่อ $ 0 \le i \le n$
จากนั้นทำการนำส่วนที่แบ่งมาหาพื้นที่ โดยการใช้สูตร กว้างคูณยาวหรือ $f(x_i) \times \triangle x$ จากนั้นทำการหาผลรวมของพื้นที่ทั้งหมดจะได้
$$\sum_{i = 1}^n f(x_i) \triangle x$$ โดยในครั้งนี้ เราต้องการแบ่งให้ช่วง $[a, \ b]$ ออกเป็น $n$ ส่วนโดยให้ $n เข้าใกล้ \infty $ ดังนั้นให้ทำการใช้ ลิมิต $n$ เข้าใกล้ $ \infty$
$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^n f(x_i) \triangle x$$ จึงทำให้ $ \displaystyle\int_a^b f(x) \,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^n f(x_i) \triangle x$
ตัวอย่าง จงหาพื้นที่ใต้กราฟของ $4x^2$ ตั้งแต่ $1 ถึง 4$ โดยใช้ผลบวกรีมันน์ โดยเราสามารถเขียนให้อยู่ในรูป $\displaystyle\int_1^4 4x^2 dx$ ซึ่งคือการหาพื้นที่รูปสี่เหลี่ยม ก็คือ $f(x_i^*) \triangle x$ โดยหา $\triangle x จากการแบ่งช่วง [a, \ b]$ออกเป็น $n$ ส่วนเท่า ๆ กัน ก็คือ ${b - a \over n}$ \begin{align*} จาก \int_1^4 4x^2 dx ทำให้ a = 1,\ b = 4 \ \therefore \ &= {4-1 \over n} \\ &= {3 \over n} \end{align*} \begin{align*} \displaystyle จากนั้น หาค่า x_i^* จาก x_i^* &= a + i\triangle x \\ \therefore \ x_i^* &= 1 + i\cfrac{3}{n} \end{align*} จากนั้นทำการหาค่าของ $f(x_i^*)$ เมื่อได้ค่าของ $\displaystyle x_i^* = 1 + i\cfrac{3}{n}$ \begin{align*} f(x_i^*) &= 4\left(1 + i\cfrac{3}{n}\right)^2 \\ &= 4 \left(1 + \cfrac{6i}{n} + \cfrac{9i^2}{n^2}\right) \end{align*} ตอนนี้เราได้พื้นที่ของสี่เหลี่ยมแต่ละตำแหน่งแล้วให้นำมาบวกกันจะได้
$\displaystyle\sum_{i = 1}^n f(x_i^*) \triangle x$ โดยแบ่งพื้นที่ให้เข้าใกล้อนันต์ โดยการใช้ลิมิตจะได้ \begin{align*} \int_1^4 4x^2 \,dx &= \lim_{n \to \infty} {\sum_{i = 1}^n 4 \left(1 + i\left({4 - 1 \over n} \right)\right)^2} \times {4 - 1 \over n} \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^n 4\left(1 + {6i \over n} + {9i^2 \over n^2}\right) \times {3 \over n} \\ &= \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^n \left(4 + {24i \over n} + {36i^2 \over n^2}\right) \times {3 \over n} \\ &= \lim_{n \to \infty} {12 \over n} \sum_{i = 1}^n 1 + {72 \over n^2} \sum_{i = 1}^n i + {108 \over n^3} \sum_{i = 1}^n i^2 \\ &= \lim_{n \to \infty} \left({12 \over n}\right) (n) + \left({72 \over n^2}\right) \left({n(n+1) \over 2}\right) + \left({108 \over n^3}\right) \left({n(n+1)(2n+1) \over 6}\right) \\ &= 12 + 36 + {108 \times 2 \over 6} \\ &= 84 \\ \therefore \int_1^4 4x^2 \,dx &= 84 \end{align*} แต่โดยปกติแล้วจะไม่ได้ใช้นิยามในการคำนวณเพื่อหาปริพันธ์
เราจะใช้ $\displaystyle\bbox[5px,border:2px solid red]{\int ax^n\,dx = \cfrac{a}{n+1}x^{n+1} + C}$
ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ $\displaystyle\int 3x^3 + 2x^2 - 5x + 4\,dx$ \begin{align*} \int 3x^3 + 2x^2 - 5x + 4\,dx &= \int 3x^3\,dx + \int 2x^2\,dx - \int 5x\,dx + \int 4\,dx \\ &= \cfrac{3}{4}x^4 + \cfrac{2}{3}x^3 - \cfrac{5}{2}x^2 + 4x + C \\ \end{align*} ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ $\displaystyle\int x^2 + 5x + 7\,dx$ \begin{align*} \int x^2 + 5x + 7\,dx &= \int x^2\,dx + \int 5x\,dx + \int 7\,dx \\ &= \cfrac{x^3}{3}+\cfrac{5x^2}{2} + 7x + C \\ \end{align*} ตัวอย่างที่ 3 จงหาค่าของ $\displaystyle\int (2x-3)^{10}\,dx$ \begin{align*} \int (2x-3)^{10}\,dx &= \int (2x-3)^{10}\,\cfrac{d(2x-3)}{2} \\ &= \cfrac{1}{2} \int (2x-3)^{10}\,d(2x-3) \\ &= \cfrac{1}{2} \times \cfrac{(2x-3)^{11}}{11} \\ \end{align*} ตัวอย่างที่ 4 จงหาค่าของ $\displaystyle\int \sqrt[3]{1-3x}\,dx$ \begin{align*} \int \sqrt[3]{1-3x}\,dx &= \int \sqrt[3]{1-3x}\,\cfrac{d(1-3x)}{-3} \\ &= -\cfrac{1}{3}\int \sqrt[3]{1-3x}\,d(1-3x) \\ &= -\cfrac{1}{3}\int (1-3x)^\cfrac{1}{3}\,d(1-3x) \\ &= -\cfrac{1}{3} \times \cfrac{3(1-3x)\sqrt[3]{1-3x}}{4} \\ &= -\cfrac{(1-3x)\sqrt[3]{1-3x}}{4} + C \\ \end{align*} ตัวอย่างที่ 5 จงหาค่าของ $\displaystyle\int \cfrac{x+1}{\sqrt{x}}\,dx$ \begin{align*} \int \cfrac{x+1}{\sqrt{x}}\,dx &= \int \cfrac{x}{\sqrt{x}}+\cfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx \\ &= \int \sqrt{x} + \cfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx \\ &= \cfrac{2x\sqrt{x}}{3} + 2\sqrt{x} + C\\ \end{align*}

สูตรทั่วไป	สูตรตรีโกณมิติ	สูตรอินเวอร์สตรีโกณมิติ
\(\cfrac{d}{dx}c = 0\)	\(\cfrac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)\)	\(\cfrac{d}{dx}\sin^{-1}(x) = \cfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)
\(\cfrac{d}{dx}x = 1\)	\(\cfrac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x)\)	\(\cfrac{d}{dx}\cos^{-1}(x) = -\cfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\)
\(\cfrac{d}{dx}x^n = nx^{n - 1}\)	\(\cfrac{d}{dx}\tan(x) = \sec^2(x)\)	\(\cfrac{d}{dx}\tan^{-1}(x) = \cfrac{1}{1 + x^2}\)
\(\cfrac{d}{dx}\sqrt{x} = \cfrac{1}{2\sqrt{x}}\)	\(\cfrac{d}{dx}\cot(x) = -\text{cosec}^2(x)\)	\(\cfrac{d}{dx}\cot^{-1}(x) = -\cfrac{1}{1 + x^2}\)
\(\cfrac{d}{dx}\ln(x) = \cfrac{1}{x}\)	\(\cfrac{d}{dx}\sec(x) = \tan(x)\sec(x)\)	\(\cfrac{d}{dx}\sec^{-1}(x) = \cfrac{1}{\|x\|\sqrt{x^2 - 1}}\)
\(\cfrac{d}{dx}e^x = e^x\)	\(\cfrac{d}{dx}\text{cosec}(x) = -\cot(x)\text{cosec}(x)\)	\(\cfrac{d}{dx}\text{cosec}^{-1}(x) = -\cfrac{1}{\|x\|\sqrt{x^2 - 1}}\)